Chapitre A: 12e.11e.

Du mouvement composé

1[189/218r/1] § 272 Paragraph summary: ce que c’est qu’un mouvement composé Le mouvement composé est celui dans lequel le corps obéït a la fois a plusieurs forces qui lui jmpriment des
directions differentes, et qui le font tendre
en meme tems vers divers points.

2 § 273. Le mouvement d’un corps qui est poussé en meme tems par deux forces, est
different selon que l’action de ces forces est
dirigée.

1°. Si ces forces agissent dans la meme direction, le mobile se meut plus vite,
mais la direction de son mouvement n’etant
point changée, ce corps se meut d’un mouvement simple.

Paragraph summary: des differences que les directions des forces qui en poussent un corps aportent dans son mouvement 2°. Si ces deux forces sont oposées et egales l’une a l’autre, elles se détruisent mutuellement. Alors le corps ne sort point de
sa place At bottom of page, between two horizontal lines, in same hand: (note 14) le lecteur comprendra aisement que je ne parle pas jci de deux corps a Ressort qui se rencontrent, mais de deux puissances exterieures qui agissent sur le meme corps en meme tems. (note 14) et jl n’y a aucun mouvement produit.

3°. Si les forces oposées sont jnegales, elles ne se détruisent qu’en partie, et le
mouvement qui en Resulte est l’effet du
Restant de ces deux forces.

A: 3°. 4°. Si ces deux forces sont Marginal note (in Du Châtelet’s hand): figure 19 perpendiculaires l’une a l’autre, comme, par exemple, la force AB. a la force
AD. elles ne se détruiront ny ne [218v/2] s’acceleront, chacune A: chacun agira agira sur le corps comme s’il etoit en repos; alors le chemin du
mobile sera changé, et ce corps aura un
mouvement composé du mouvement
jmprimé par ces deux forces.

Jl n’y a que dans le cas ou les deux forces qui agissent sur le corps A: seront sont perpendiculaires l’une a l’autre, dans lequel
chacune agisse sur lui comme si ce corps etoit
en Repos.

A: 4°.5°. Enfin si ces 2. forces sont obliques l’une a l’autre comme la force
Note, left margin (in Du Châtelet’s hand): figure 20. et 21. AF. a la force AE. ou Bien comme la force AG. a la force AH. elles retarderont ou acceleront le mouvement l’une de l’autre,
selon que l’obliquité des lignes qui les
Representent sera dirigée, et elles auront
outre cela une action perpendiculaire
l’une a lautre, selon laquelle elles
n’accelereront ny ne retarderont le mouvemt
l’une de l’autre (§ Not in A 280).

3 § 274 Si le corps A est mû par une force quelconque dans la direction AB.
et avec la vitesse designée parcette
ligne AB. etque ce corps soit poussé en
meme tems par une autre force qui lui
jmprime la direction et la vitesse
A: AD AC. ce corps etant mû par deux forces Note, left margin (in Du Châtelet’s hand): figure 22 qui tendent en meme tems a lui faire parcourir les deux figures AB. A: AD AC A: jl obëira egalement a ces deux forces, et aura jl obeïra a ces deux forces, Not in A selon la quantité de leur action sur lui etcecorps aura un mouvement dont la direction et la vitesse seront composèes de la vitesse
et de la direction des deux forces qui
agissent sur lui.

4 Note, left margin (in Du Châtelet’s hand): figure 22 § 275. Pour determiner quelle ligne un corps qui est ainsi mû decrira dans son
mouvement, jmaginons que la ligne A: ABAC et la ligne A: Corrected in Du Châtelet’s hand. The original in A is difficult to read, but may have been AD. AB. A: seroit soient divisées dans les parties egales entr’elles A, e, g, i, o, c, et
A∙F∙H∙K∙M∙B∙ et suposons que tandis que [190/220r/3] le mobile A parcourt les divisions de la figure A: AD AC. cette ligne coule parallellement a elle meme le long de la ligne AB. en sorte
que dans le meme tems
pendant lequel
le corps A. parcourt sur la figure AC. l’espace
Ae. la ligne AC parcourt sur la ligne AB.
l’espace AF. jl est certain qu’au Bout A: du mouvementA: du dece 1er moment le mobile se trouvera au point Ei. de meme si dans le second jnstant pendant
lequel le mobile va de e, en g, sur la
figure AC. cette ligne coule de F. en H.
sur la ligne AB. Le mobile au-bout de ce
2d. jnstant sera G, par la meme raison Jl sera en I au bout du 3e. jnstant, puis en Paragraph summary: un corps mû par deux forces parcourt la diagonale d’un paralelogramme O. dans le 4e. puis enfin en D dans le 5e. ainsi si l’on tire les lignes CD. BD. parallelles a AB. Not in A et a AC. et qu’on acheve ainsi le paralelogramme ABCD.
le corps en obeissant aux deux forces AB. AC. qui agissent sur lui en meme
tems, décrira la diagonalle A: AK AD. de ce paralelogramme, car la force qui le
pousse vers AB, fait sur lui le meme
effet que le mouvement par lequel j’ai
suposé que la ligne AC. parcouroit la
figure AB.

5 § Paragraph summary: jl parcourt cette diagonale dans le meme tems dans lequel jl parcoureroit les deux cotès separement 276 Le mobile parcourt cette diagonale AD. dans le meme tems
dans lequel jl auroit parcouru les
lignes AC. AB. separement car par
la seule force dirigée vers AB. le corps
s’aprochera de la ligne BD. dans le
meme tems, soit que la force vers AC.
lui soit jmprimée ou non, de-meme, jl s’aprochera de la ligne CD dans le
meme tems par la force qui le dirige
vers AC. soit que la force vers AB.
lui soit jmprimee, soit qu’elle ne le soit pas;
donc lorsque la ligne AC. que j’ai [220v/4] suposé couler sur la ligne AB. sera arrivee en BD. le corps A. qui parcourt
cette ligne AC. sera alors au point C. de
cette ligne AC. mais le point C. et le
point D. seront alors coincidents, ainsi tout
corps qui est mû par deux puissances qui
font entr’elles un angle quelconque
parcourt la diagonale du paralelogramme
formé sur les lignes dont la longueur
et la position representent la direction
et la vitesse de ces deux forces, et jl l’a
B: parcouru apeu prés dans parcour[u] dans le meme tems dans lequel jl auroit parcouru les deux
cotês separement, ainsi cette diagonale
represente la vitesse du mouvement
composé, et elle est le resultat des
mouvemens jmprimés au mobile.

6 § 277 A: Ainsi Il suit dela que le mouvement d’un corps peut toûjours se resoudre en deux
autres mouvemens, en faisant que la
ligne dans laquelle un corps se meut
devienne la diagonale d’un paralelo
gramme dont les deux cotès dans
leur longeur et leur position
representeront les directions etles vitesses
des deux mouvemens dans lesquels
celui du corps que l’on considere sera
resolu.

7 Not in A § 278 L’angle EAB que les lignes AB. AE. qui marquent les direction
des forces font entre elles, s’apellel’angle
de direction.

8§ 279 A: Mais cette diagonale parcourûë par le corps n’est pas egale dans les differentes directions des La ligne parcourûë par un corps poussé en meme tems par 2 forces
est plus ou moins longue C: selon que selon langle de direction des forces qui le poussent, car suposé que les lignes AE.
AB soient egales dans les fig Not in A. Marginal note: fig. 23. 24. et 25. 23∙24∙et 25 on voit aisement que la ligne AD qui
est le chemin que le mobile parcourt
Not in A. B: en [tems egal]dans lememe tems n’est pas egale dans les 3. M1: fig. [new paragraph] l’angle que les lignes qui marquent les directions des forces qui agissent sur le mobile font entr’elles, s’apelle l’angle de direction B: fig. [new paragraph] l’angle EAB que les lignes AB, AE, qui marquent les directions des forces qui agissent sur le mobile font entr’elles, s’apelle l’angle de direction fig.

9 § 280 A: Plus cet angle Plus L’angle de direction [191/221r/5] A: EAB, que les directions font entr’elles, est EAB est aigu, comme dans la fig. Not in A 24 plus la ligne AD. que le corps parcourt est
longue, et plus cet angle A: EAD EAB est obtus, comme dans la fig. 25 plus le chemin
du mobile est court, car dans le 1er. cas la force qui pousse le corps dans la ligne
AE. et qu’on peut resoudre dans les lignes
Af. et Ag. conspire avec la force qui
pousse le corps vers AB. et l’augmente
de la quantité Ag. A: et dans le second cas la outre son action perpendiculaire vers Af. et dans le second cas
la force qui pousse le corps vers AE. decomposée comme dans le cas precedent,
s’opose a la force vers AB. et la
diminuë de la quantité Ag. ainsi dans
le 1er. cas, le mobile doit parcourir plus d’espace, puisque la vitesse est augmentée,
A: et que le tems de son mouvement est le meme, et et par la raison contraire, jl doit en parcourir moins dans le
second, puisque A: dans ce cas la vitesse est diminuée le tems de son mouvemt est lememe.

10 § 281 Marginal note: Eucl. Liv. [pr]er. prop. 20. Comme les deux côtès d’un triangle pris ensemble sont toûjours
plus longs que le 3e. (Euclide livre Ier. prop. 20) le corps A. va par un chemin plus court, lorsqu’il
obêit a la fois a deux puissances
quelconques que s’il n’obéissoit a chacune
d’elles en particulier.

11 § 282 On voit par l’inspection dela fig. 24 que le chemin d’un mobile
peut etre la diagonale d’une jnfinité
de paralelogrammes divers, car la
ligne A[D]. est en meme tems la
diagonale des paralelogrammes
AEBD. et A.f.D.h A: &cc. ainsi un corps mû par plusieurs causes fort diverses peut cependant parcourir le meme espace avec la meme vitesse ; &cc.B: ainsi deux corps mûs par plusieurs forces dont les directions sont fort diverses peuvent cependant parcourir le meme espace avec la meme vitesse C: ainsi un corps peut parcourir le meme espace avec lameme vitesse quoiqu'il soit mu par plusieurs causes fort diverses &cc. [221v/6]

12 § 283 Ainsi un corps A: peut aussi peut parcourir la meme ligne droite dans le meme tems,
soit qu’il soit poussé par plusieurs forces, ou
par une seule force: le corps A. par
exemple, parcourera egalement la
ligne AD. dans un tems donné s’il
est poussé par une seule force
dirigée vers AD. et qui lui jmprime
cette vitesse AD. ou par les deux forces AB. AE. qui lui jmpriment les vitesses
C: Note, right margin (in Du Châtelet’s hand): figure 24 D: figure 26 designées par ces figures AB. AE. et l’on peut egalement considerer le
corps qui parcourt la ligne AD comme
etant mû par ces deux différentes
forces, ou parune seule qui leur soit
egale, car la vitesse ou le mouvement
A: en vers AD ne contient que la vitesse AB. dans la direction AB. et que
la vitesse AE. dans la direction
AE. Ainsi l’éffet est toujours le
meme lorsque le mobile est poussé par
A: 34. 3. 4. ou une quantité quelconque de forces Réünies, ou-Bien par une
seule force qui lui jmprime la
meme vitesse dans la meme direction
dans laquelle l’action de ces differentes
forces se Réüniroit, et l’on peut
egalement considerer toutes ces forces
comme etant Réünies dans celle qui
les represente, ou cette force unique
comme etant divisée dans les forces
qui la composent.

13 § Paragraph summary: de la resolution et de la composition du mouvement 284 Ces deux differentes façons de considerer le mouvement des corps
s’apellent Resolution et composition. [192/222r/7] Paragraph summary: utilité de cette methode. Cette methode est d’un grand usage, et d’une grande utilité dans les mechaniques pour découvrir A: les effets la quantité delaction des corps qui agissent Not in A obliquement les uns sur les autres (§ )

14 § Paragraph summary: comment on connoit le chemin du mobile dans toutes les compositions du mouvement 285 On connoit le chemin d’un mobile mû par deux forces quelconques, lorsque
l’on connoit la vitesse que chacune de
ces deux forces lui jmprime, et l’angle
que leurs directions font entr’elles; car
ce chemin est le 3e. coté d’un triangle dont on connoit les deux autres côtés et
l’angle compris A: Mais cela n’est pas Reciproque, car lorsqu’on connoit ce 3e. coté qui est le chemin du mobile, on ne connoit pas par cela les deux autres côtés, et cela parcequ’on peut Bâtir une jnfinité de triangles sur une meme base, et c’est ce qui se voit par la seule jnspection des fig. 24 et 25 C: Canceled note in left margin: eucl. liv. 1er. p. 9. (Euclide liv., Ier., prop. 4).

15 § 286 Par le meme moyen on connoit le chemin d’un corps qui obeit
a un nombre quelconque de forces qui
agissent sur lui a la fois, car lorsqu’on
a determiné le chemin que deux de ces
forces font parcourir au mobile par la
regle de la §. precedente, ce chemin
devient le côté d’un nouveau triangle
dont la 3e. force est le 2d. côté, et le chemin du mobile la Baze. En procedant ainsi jusqu’a la derniere
force, on parviendra a connoitre le
chemin du mobile par l’action reünie
de toutes les forces qui agissent sur lui
Note, right margin (Du Châtelet’s hand): fig. 27 car le corps A. poussé par les deux [222v/8] forces Ei. et D. dans les directions et avec les vitesses AB. AG. décrira
la diagonale AH. poussé ensuite par
la force C. Dans la direction, et avec
la vitesse AF. jl parcourera la ligne
AT. Enfin la force M. lui fera
décrire la ligne AL. en-lui jmprimant
la Direction et la vitesse AK. Ainsi
AL. est le A: chemin et la vitesse du chemin du mobile A poussé en meme tems par
les forces EDCM. [193/223r/9]

16 § Not in A. In A the following text, which is § 286 in D, continues with Uncorps qui recoit which is § 288 in D. 287 Un corps peut eprouver plusieurs mouvemens a la fois, car
un corps que l’on jette horisontalement
dans un batteau, par exemple, eprouve le
mouvement de projectile qu’on lui
communique, et celui que la pesanteur
lui jmprime a tout moment. Jl participe
outre cela au mouvement du vaisseau
dans lequel jl est. Si ce vaisseau remonte
l’eau, le corps acquiert encor un nouveau
mouvement en participant au mouvement
de cette eau qui s’ecoule sans
cesse. La terre sur laquelle coule cette riviere
tourne sur son axe en 24. heures, voila
encor un mouvement nouveau que le
corps partage; enfin la terre a encore
son mouvement annuel au-tour du
soleil la revolution de ses poles, le
Balancement de son equateur &cc.
et le corps que nous considerons participe
atous ces mouvemens mais jl n’y a a [223v/10] proprement parler que les deux 1eres. qui lui appartiennent; ainsi quand on
parle du mouvement A: propre, propre d’un corps, le seul mouvement que l’on
considere est celui qu’il exerca par une
force ou jmprimée ou residente en lui; car
un corps ne se meut reellement que
lorsqu’il passe d’une partie de l’espace
A: par sa propre force, et ce mouvement que le corps exerce par une force residente en lui, esttoujours en ligne droite, soit que le mouvement simple, soit qu’il soit composé C: par sa propre force, imprimée ou residente en lui dans une autre par sa propre force. [222v/8]

17 § 288 Uncorps qui reçoit plusieurs determinations demeure dans la derniere,
comme dans le dernier degré de
vitesse, s’il est abandonné a lui-meme,
et qu’aucune force n’agisse davantage
sur lui, etjl conserve cette determination
et cette vitesse, jusqu’aceque la rencontre
de quelque obstacle lui fasse perdre son
mouvement, en consument A: qu’il a pour se mouvoir, cet effet est une suite necessaire de la 1ere. loy du mouvement, et de la force sa force B: et que ou que quelque nouvelle B: force ne change force change sa direction. Cet effet est une suite
necessaire de la 1ere. loy du mouvement, fondée sur la force d’inertie de la matiere.

18 § 289 Le mouvement composé peut etre egalement ou jnegalement
acceleré comme le mouvement simple.

19 B: Paragraph summary: du mouvement en ligne courbe Si les deux forces qui poussent le corps sont jnegalement accelerées,
ou bien si l’une est accelerée, tandis que l’autre est uniforme, la ligne decrite
par le corps en mouvement ne sera
plus une ligne droite, mais une ligne
courbe dont la courbure sera differente,
selon la combinaison des jnegalités des
forces qui la font décrire, car ce
corps obeïra a chacune des forces qui
le poussent selon la quantité de son [193/223r/9] action sur lui (A: Possibly 1er in A2ieme. loy et § 274). Ainsi, par exemple, s’il ya une de ces forces
qui renouvelle son action a chaque jnstant,
tandis que l’action de l’autre force reste A: Renouvellée la meme. le chemin du mobile sera
changé a tout moment, et ce mobile aura
un mouvement egalement acceleré, c’est de
cette façon que tous les corps que l’on jette
retombent vers la terre, comme je le dirai
dans le ch. A: [14] 15.

20 § 290 Paragraph summary: le mouvement enligne courbe est toujours un mouvement composé Tout mouvement en ligne courbe est necessairement un mouvement composé du mouvement A: qui le fait qui fait aller Not in A le corps en ligne droite, et du mouvement qui l’en retire,
car décrire une A: ligne, c’est ligne courbe, c’est changer atout moment de Direction [223v/10]

21 Paragraph summary: le mouvement est toujours en ligne droite dans un jnstant jnfiniment petit§ C: Car quoiqu’il A; Ainsi le mouvement d’un [corps] se fait toujour en ligne droite car Below we find a boxed note, presumably an intended paragraph summary, in Du Châtelet’s hand: du mouvemt du rotation 291 Lemouvemt se fait
toujours enligne droite car bien

qu’il soit certain qu’un corps mû pardeux forces qui lui
jmpriment des vitesses jnegalement
accelerées décrive une ligne courbe,
cependant le mouvement partial de ce corps est toujours en ligne droite, et
son mouvement total n’est en ligne
courbe que parceque les points vers
lesquels le mobile est dirigé
changent a chaque moment, et que
la petitesse des droites que ce mobile
parcourt a chaque jnstant, nous
empechant de les distinguer chacune
en particulier, tout cet assemblage
de lignes droites jnfiniment petites et
inclinées les une aux autres nous
paroit une seule ligne courbe,
mais chacune de ces petites Droites
represente la direction du mouvement
a chaque jnstant jnfiniment petit,
et elle est la diagonalle d’un
paralelogramme formé sur la direction
des forces actuelles qui agissent sur
ce corps; ainsi le mouvement est
toujours en ligne droite a chaque [194/224r/11] jnstant jnfiniment petit, de meme qu’il est toûjours uniforme.

22 § 292 Si la force acceleratrice cessoit tout d’un coup d’agir, le corps continueroit
a se mouvoir dans la ligne droite dans
laquelle jl se trouveroit dirigé dans
cet jnstant, car tout corps qui se meut
continûë a se mouvoir dans une ligne
droite, et avec des vitesses egales, lorsque
rien ne l’en empeche selon la 1ere. loy du mouvement ( Not in A et § 203) et c’est en suivant cette loy que tout corps qui se meut en
rond tend a s’echaper par la tangeante. [223v/10]

23 A: Not in A§ 293 Il y a encore une autre sorte
de mouvement circulaire qui

est C: celui quand un celui d’un corps qui tourne sur lui meme, come laterre

par Exemple dans sa rotation

journaliere, cesont Not in C alors
les parties dece

corps qui decrivent les droites

infiniment petites dont C: nous venons ie viens
deparler (§ 291) et si ces parties netoient

Read: pas par retenuës ensemble par
C: une force superieure qui lopose a la [...] celle qui une force qui sopose a celle qui
les porte a continuer dans ladirection

Not in C actuelle de mouvement ou elles setrouvent
chacune sechaperoit par la

tangeante etle Read: composé compose seroit
detruit, or cette tangeante

Not in C quelles She may have meant se decrivoient [secrivoient]
questce autre chose que laligne droite

infiniment petite que chacune decrit en tournant (§ 292).

24A: Not in AOn peut definir
cette sorte de

mouvemt

cir culaire

un mouvemt

dans lequel

les parties

changent
deplace quoique
le tout n’enchange
point.[194/224r/11]

25 § 294 La seule difference qu’il y ait entre la ligne que décrit un corps
qui se meut par l’action de deux
forces qui lui jmpriment des vitesses
jnegalement accelerées, et A: celles que [...] reçoit celle que decrit un corps qui reçoit des vitesses accelerées egalement, c’est que dans le
dernier cas la ligne décrite par le corps
pendant tout letems de son
mouvement en une ligne droite,
au-lieu que lorsque les vitesses sont
jnegalement accelerées, jl n’y a B: que dans les tems parcourus la que la ligne parcourûe dans un A: jnsta [sic] instant suposé jnfiniment petit qui soit droite, mais jl n’en est pas moins vrai
que le mouvement actuel d’un corps se
fait toujours dans une ligne droite.