Chapter 18. Of the Oscillation of Pendulums

This chapter explores how gravitational forces act on objects by exploring the motion of pendulums. Du Châtelet defines “pendulum” as follows (InstPhy, § 443):

Un Pendule est un corps grave, suspendu à un fil, & attaché à un point fixe autour duquel il peut se mouvoir par l’action de la gravité, lorsqu’on l’a mie une fois en mouvement. (Amsterdam 1742)

[ Manuscript Bibliotheque nationale de France (Paris), Fonds français 12265 ]

A pendulum is a heavy body hanging from a thread and attached to a fixed point. Once set in motion, it can move around the fixed point by the action of gravity. (my own translation)

In Fig. 56 it is explained how a pendulum works: Since the body is fixed with the thread BP in point P, the body follows the arc CP. When the body P is drawn upwards, the force of gravity accelerates it back to the original position. Then the body swings in the opposite direction to a height equal to the original position (due to the law of inertia.) The back and forth movement of the pendulum BP, from C to P, and from P to R is called the oscillations of the pendulum.

A simple pendulum is an idealization in which the whole mass is considered as concentrated at a point (InstPhy, § 447). A mass point is suspended from a massless, rigid thread and can therefore only move in two dimensions on a circular path around the suspension. Its only degree of freedom is the deflection around an equilibrium position. In reality (i.e., in experimental practise) air resistance and friction slows down the swing. If there were no friction to interfere and if all resistances to motion were removed,a pendulum set in motion would swing back and forth in a straight line and would never come to rest (InstPhy, §§ 450-451).

Du Châtelet honors Galileo who was the first to examine pendulums (InstPhys, § 455):

Galilée fut le premier qui imagina de suspendre un corps grave à un fil, & de mesure le tems dans les observations Astronomiques & dans les expériences de Physique, par les vibrations: ainsi, on peut le regarder comme l’inventeur des Pendules. (Amsterdam 1742)

[ Manuscript Bibliotheque nationale de France (Paris), Fonds français 12265 ]

Galileo was the first who imagined a heavy suspended body on a wire, & measured time in Astronomical observations and in physical experiments, by vibrations: thus, he can be considered as the inventor of pendulum clocks. (my own translation)

Galileo found out that periods of smaller angles were constant and assumed that this was correct for every angle, an assumption which we now know to be wrong. In light of this conclusion, Galileo used the pendulum in order to measure short time periods. Following Galileo’s epochal analysis of pendulum motion, Huygens provided the first accurate measure of time. Huygens realized that for practical purposes regarding timekeeping devices it is advisable that one keeps the arc of the swing of a long pendulum relatively small. In the case of small swings of a few degrees, the pendulum approximates isochronousness. That means: With the assumption of small angles, the frequency and period of the pendulum are independent of the initial angular displacement amplitude. (The time for one complete cycle, a left swing and a right swing, is called the period.  The frequency is the number of back and forth swings in a certain length of time.) Huygens’ discovery of the isochronous nature of cycloidal motion rested upon the new geometrical analysis of the cycloid curve. Du Châtelet gives a detailed geometrical description and explanation of Huygens’ method. She refers to Huygens’ Horologium Oscillatorium (1673) and to John Wallis’ Tractatus Duo (1659). In both works Christopher Wren’s solution of the problems on the cycloid is discussed, which had been proposed by Blaise Pascal (InstPhy, § 466; Fig. 60):

  1. Cette courbe sè décrit elle-même par son évolution, ensorte que si CA. CN. sont deux demi-cicloïdes renverlees, formées par le même cercle générateur DA. lefquelles lè réunif-fent au point C. ayant leur sommet en A. & en N. & que l‘on conçoive un fil CBA. égal à la demie-cicloïde CA. à laquelle je le suppose appliqué. Si l’on attache à l’extrémité de ce fil un poids P. ce fil deviendra un Pendule égal à la demi-cicioïde CA. or si ce poids P. elt abandonné à lui-même, il tombera vers la terre autant qu’il lui fera possible par sa gravité, & en tombant, il déployera le fil CA. lequel en le déployant de A. en F. décrira par fon extrémité auquel tient le poids P. unecourbe AF. Si le poids P. qui a déployé le fil CBA. & qul l’a amené dans la direction perpendiculaire СF. continue à fe mouvoir par l’action de sa gravité, lorsqu’il eft arrivé en F. il décrira en remontant de F. en N. une courbe FN. égale à AF. & quand le point P. fera arrivé au point N. le fil СВР. sera appliqué à la demi-cicloïde СN. à laquelle il est égal: donc la courbe entière AFN. lèra décrite par l’évolution & la révolution de la demi-cicioïde CA. ou du fil СВР. qui lui eft égal, & cette courbe AFN. se trouve être une cicloïde égale aux deux demi-cicloïdes CA. CN. & ayant le même cercle générateur, & elle est par consequent double du fil СВР. égal à chacune de çcs demi-cicloïdes. […]
  2. Le tems de la chute d’un corps par un arc quelconque d’une cicloïde renversée, est au tems de la chute perpendiculaire par l’aaxe dé la cicloïde, comme la demie-circonférence du cercle est à son diamètre. C’est cette propriété de la cicloïde dont vous pouvez voir la démonstration dans le Traité dé M. Huyghens, qui fit découvrir à ce Philosophé la proportion entre le tems d’une oscillation, & l’espace tombé dont je vous ai parlé (§ 328).
  3. De cette propriété il én naît une autre, c’est que tous les arcs d’une cicloïde renversée sont parcourus en tems égal, par un corps qui tombe dans cette courbe par son propre poids; car puisque par la propriété précédente les tems de la chute d’un corps par des arcs quelconques de cicloïde, sont au tems de sa chute perpendiculaire par l’axe de cette cicloïde dans une raison constante, ces tems sont égaux entr’eux.
  4. Cet isochronisme des arcs de la cicloïde est sondé sur une propriété de cette courbe, dont je ne vous ai pas encore parlé, & qui se prouve par une démonstration assez compliquèe, c’est que toute tangente de la cicloïde est parallele à la corde de son cercle générateur comprise entre le sommet de la cicloïde, & le point auquel la parallele à la base tirée du point de tangence, coupe le cercle générateur: ainsi, la tangente HBN. est parallele à la corde EA. dans la cicloïde MGL. Il est aisé de voir comment l’isochronisme des arcs de la cicloïde dépend de cette propriété, car la gravité agira sur le corps au point de cette courbe où il se trouve, de la même manière qu’elle y agiroit sur la corde du cercle générateur qui correspond à ce point, puisque chaque point de la cicloïde a la même inclinaison que la corde du cercle générateur qui lui correspond: or vous avez vu que sur toutes les cordes d’un cercle tirées des extrémités de so diamètre, le corps a des vitesses proportionnelles aux cordes qu’il parcourt, c’est-à-dire, d’autant plus grandes que ces cordes sont plus longues: ainsi, dans la cicloïde chaque droite infiniment petite qui compose cette courbe ayant la même inclinaison que la corde du cercle générateur qui lui correspond, le corps a, à chacune de ces petites droite, ou de ces points, des vitesses proportionnelles à la corde, c’est-à-dire à l’arc qui lui correspond: ces vitesses sont donc autant plus grandes qu’ils sont plus grands, ces arcs étant d’autant plus inclines qu’ils sont plus courts. Suivant cela, deux corps qui partent en même tems des points H. & B. de la cicloïde FBO. avec des vîtesses initiales proportionnelles aux arcs HF. BF. qu’ils ont à parcourir, arriveraient en même tems au point F. s’ils continuoint à sè mouvoir avec les vîtesses initiales de H. en F. & de B. en F. d’un mouvement uniforme, or comme on peut faire le même raisonnement sur tous les points qui sont entre H. & F. & entre B. & F. les corps qui partent de ces différens points, doivent atteindre le sommet F. en même tems. (Amsterdam 1742)

[ Manuscript Bibliotheque nationale de France (Paris), Fonds français 12265 ]

A cycloid is the curve traced by a point on the rim of a circular wheel as the wheel rolls along a straight line without slipping. This is the curve of fastest descent under constant gravity (In §§ 469-470 Du Châtelet shortly discusses a paradoxical property of the cycloid, known as the wheel paradox. This passage is missing in the Amsterdam edition of 1742. ) Huygens had failed to realize that the cycloid also represented the “least time” path of descent of a body in a vertical plane. Johann I Bernoulli solved this problem (InstPhy, § 469):

La fameux Маthématicien M. Jean Bernoulli qui avoit proposé le problême de ligne de la plus vite descente, le résolut par la dioptrique, en démontrant que tout rayon rompu dans l’atmosphère doit décrire une cicloïde; ce Géomètre suposoit dans là solution que la lumière en traversant des milieux d’une denfité hétérogène, devoit se transmettre par le chemin du plus court tems, comme Fermat l’avoit prétendu contre Descartes, & comme Messieurs Huyghens & Leibnits l’avoient soutenu depuis Fermat. (Amsterdam 1742)

[ Manuscript Bibliotheque nationale de France (Paris), Fonds français 12265 ]

The famous Маthématicien Mr. Jean Bernoulli, who had proposed the problem of the line with the fastest descent, solved it by means of the dioptric. He demonstrated that any ray broken in the atmosphere must describe a cycloid. This Geometer assumed that light, by crossing heterogeneous density media, must be transmitted by the shortest time path, as Fermat had claimed against Descartes, and as Mr Huyghens and Mr Leibnits had confirmed it in favor for Fermat. (my own translation)

Johann Bernoulli’s solution was originally published in the Acta Eruditorum in May 1697 (pp. 206-211). This solution is based on the analogy to Pierre de Fermat’s optical principle of least time. Fermat’s least-time principle is equivalent to the optical law of refraction: a light ray travels between two points in a vertical plane in a medium of continuously varying index of refraction. Bernoulli realized that the solution of the problem of the least-time of fall between two points (the brachistochrone) was the same as the cycloid of Huygens (the tautochrone). Several important mathematicians responded to Bernoulli’s approach, which became a powerful method to solve minimum and maximum problems, later called variational calculus.

Du Châtelet remarks that Leibniz, in §22 of the Discours de métaphysique (1686), interpreted Fermat’s principle as an example for the principle of sufficient reason (InstPhy, § 472):

On sent aisément avec quel plaisir M. de Leibnits adopta une opinion qui prenoit sa source dans le principe d’une raison suffisante; car Fermât prétendoit que puisque dans la réfraction le raion ne ya, ni par le chemin direct, ni par le plus court, il fallout qu’il allât par celui qu’il parcourt dans le plus court tems, sans quoi il n’y auroit cu aucune, raison du chemin que suit le raion en se réfractant. (Amsterdam 1742)

[ Manuscript Bibliotheque nationale de France (Paris), Fonds français 12265 ]

It is comprehensible with what pleasure Mr. de Leibnits adopted an opinion that has its origin in the principle of the sufficient reason; Fermât claimed that the ray of light follows neither a straight line nor the shortest way, but travels in the shortest possible time, since otherwise there would be no reason for the path of the ray of light when it is refracted. (my own translation)

Du Châtelet also mentions Jean Jacques d’Ortous de Mairan’s discussion of Fermat’s principle (InstPhy, § 476) in the Mémoires de l’Académie royale des sciences (“Sur la reflexion des corps,” 1722, pp. 102-119), referring to her own work on optics (InstPhy, § 471). From Fermat’s principle, one can derive the law of reflection (known as Snell-Descartes law) which describes the relationship between the angles of incidence and refraction, when referring to light or other waves passing through a boundary between two different isotropic media, such as water, glass, or air.

Since the force of gravity is greater near the poles and less at equator, a pendulum will swing slowest when closest to the equator. This fact was confirmed by Jean Richer’s voyage to Cayenne in 1672-73, which destroyed Huygens’ vision of a universal standard of length (thus, time). In his Observations astronomique et physiques faites en l’Isle de Caienne published in Paris in 1679, Richer reported that measurements agreed on a length shorter by 1-3/4 lignes than that found for Paris (see InstPhy, § 477-479). On reading Richer’s report Huygens reasoned that the earth’s rotation produced a centrifugal force that diminished the weights of bodies by a factor dependent on their latitude. A body at either pole suffered no diminution; at the equator it underwent a maximum decreased of roughly of its weight. Translated into horological terms, the diminution of weight by centrifugal force meant that a clock regulated to mean time at the pole would fall behind at the equator by a bit more than 2-1/2 minutes a day. Faced with the fact of geographical variations in the length of a pendulum, Huygens turned to his mechanical theory of weight and to the measure of the perturbing centrifugal force. Newton used the data presented in the report by Jean Richer of his 1672 visit to Cayenne, that of Edmond Halley to St. Helena in 1677, and that of Varin and Des Hayes’ voyage to Martinique and Guadeloupe in 1682 for his calculations in the third book of the Principia (see InstPhy, § 482).

In line with Huygens Du Châtelet distinguishes a simple pendulum from a compound pendulum. A compound pendulum will oscillate like a simple pendulum, but with some restrictions regarding the axis of oscillation and the axis of gravity (InstPhy, § 485). Huygens based the determination of the center of oscillation of a compound pendulum on a principle, named variously after Torricelli and Mersenne: When the center of gravity of a system falls from rest and then rises again to rest, it begins and ends at the same height, irrespective of the changes of relative position within the system itself. By means of this principle Huygens was able to derive a simple pendulum that was isochronous to a compound pendulum. As will be shown in the next chapters, Huygens analysis delivered a breakthrough: it helped to clarify an important physical quantity, to be called “vis viva,” i.e., the capacity of a body to do work.

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Compae the entry PENDULE, s. m. (Méchanique.) in d’Alembert’s and Diderot’s Encyclopédie large passages are taken verbatim from Du Châtelet’s Chapter 13. See also the entry “Pendule” in: Johann Heinrich Samuel Formey (Hg.): Dictionnaire instructif, où l’on trouve les principaux termes des sciences et des arts dont l’explication peut être utile ou agréable aux personnes qui n’ont pas fait des études approfondies. Halle: Gebauer.

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